Chorro redondo: la autosimilitud comprobada en todas las escalas

En 2016, firmé este artículo del Journal of Fluid Mechanics con Lyazid Djenidi, Robert Antonia (University of Newcastle, Australia) y Jean Lemay (Université Laval, Canadá). El tema: mostrar que, lejos de la boquilla, la turbulencia sobre el eje de un chorro redondo es autosimilar en todas las escalas, y deducir de ello sus leyes de decaimiento.

Mi contribución: la automatización del chorro redondo del laboratorio (LabVIEW, Matlab), las mediciones con hilo caliente sobre su eje y, después, el posprocesamiento y el análisis de los datos.

Por qué es importante

• Un flujo es autosimilar cuando sus estadísticas conservan la misma forma al avanzar: solo cambian una escala de longitud y una escala de velocidad.
• Sobre el eje de un chorro redondo, se admite que la velocidad media U decae como x⁻¹, la energía turbulenta k como x⁻² y la disipación ε como x⁻⁴.
• Estas leyes suelen obtenerse con la conservación de la cantidad de movimiento o suponiendo constante el parámetro C_ε. Nuestra pregunta: ¿se pueden deducir solo de la autosimilitud, escala por escala?

El método

• Teoría: aplicamos la autosimilitud a la ecuación de transporte de la función de estructura de segundo orden, es decir, al balance de energía escala por escala, con isotropía local. Sobre el eje, las difusiones turbulenta y de presión son despreciables.
• Túnel de viento: un chorro de aire sale de una boquilla de diámetro D = 55 mm, después de una contracción de relación 85:1, con un número de Reynolds Re_D de 10⁴ a 10⁵ aproximadamente.
• Mediciones: coloqué un solo hilo caliente de 1.2 µm de diámetro sobre el eje del chorro. La intensidad turbulenta alcanza ahí el 25 %, por lo que aplico a la señal una versión corregida de la hipótesis de Taylor para obtener las escalas pequeñas, y por tanto ε, sin sesgo.

La teoría da todas las leyes de decaimiento

• Soluciones autosimilares: U ∼ (x − x_o)⁻¹, u'² ∼ (x − x_o)⁻², escalas de longitud ∼ (x − x_o), ε ∼ (x − x_o)⁻⁴, donde x_o es un origen virtual.
• Sin hipótesis adicional: el decaimiento de U en x⁻¹ se vuelve un resultado del análisis, y no un dato de entrada.
• El Reynolds de Taylor Re_λ debe ser constante, y la constancia de C_ε se deriva de la autosimilitud completa.

• La velocidad media sigue la ley en x⁻¹: U_j/U es lineal en x/D, con un origen virtual x_o ≈ 4.5D.

Las mediciones confirman la autosimilitud completa

• Re_λ alcanza una meseta a partir de Re_D ≥ 2 × 10⁴. Con Re_D = 10⁴, no se estabiliza: la autosimilitud no se alcanza.
• La meseta empieza más lejos cuando el Reynolds aumenta: hacia x/D ≈ 15 con Re_D = 3.4 × 10⁴, hacia x/D ≈ 40 con 1.3 × 10⁵. Por eso hay que medir lo bastante lejos de la boquilla.

• La disipación sigue la ley en x⁻⁴ en campo lejano.
• El prefactor A_ε se calcula a partir del decaimiento de U y de la intensidad turbulenta: alrededor de 36, a un 8 % de la medición, frente a 48 para el valor citado a menudo de Friehe et al. (1971).
• Las funciones de estructura de segundo y tercer orden medidas a distintas distancias se superponen una vez normalizadas: la autosimilitud se cumple en todas las escalas.

Para recordar

• Sobre el eje de un chorro redondo, la autosimilitud basta para recuperar las leyes de decaimiento de U, k y ε, sin otra ecuación.
• Las mediciones la confirman, siempre que se hagan lo bastante lejos de la boquilla, y más lejos cuanto mayor es el Reynolds.
• La fórmula del prefactor ofrece una forma sencilla de estimar ε sobre el eje, a partir de mediciones de velocidad media e intensidad turbulenta.

Para saber más

L. Djenidi, R. A. Antonia, N. Lefeuvre, J. Lemay, Complete self-preservation on the axis of a turbulent round jet, Journal of Fluid Mechanics 790, 57–70 (2016), PDF · DOI