Jet rond : l'autosimilarité vérifiée à toutes les échelles

En 2016, j'ai cosigné cet article du Journal of Fluid Mechanics avec Lyazid Djenidi, Robert Antonia (University of Newcastle, Australie) et Jean Lemay (Université Laval, Canada). Le sujet : montrer que, loin de la buse, la turbulence sur l'axe d'un jet rond est autosimilaire à toutes les échelles, et en tirer ses lois de décroissance.

Ma contribution : l'automatisation du jet rond du laboratoire (LabVIEW, Matlab), les mesures au fil chaud sur son axe, puis le post-traitement et l'analyse des données.

Pourquoi c'est important

• Un écoulement est autosimilaire quand ses statistiques gardent la même forme en avançant : seules changent une échelle de longueur et une échelle de vitesse.
• Sur l'axe d'un jet rond, on admet que la vitesse moyenne U décroît en x⁻¹, l'énergie turbulente k en x⁻² et la dissipation ε en x⁻⁴.
• Ces lois s'obtiennent en général avec la conservation de la quantité de mouvement ou en supposant constant le paramètre C_ε. Notre question : peut-on les déduire de la seule autosimilarité, échelle par échelle ?

La méthode

• Théorie : nous appliquons l'autosimilarité à l'équation de transport de la fonction de structure d'ordre 2, c'est-à-dire au bilan d'énergie échelle par échelle, sous isotropie locale. Sur l'axe, les diffusions turbulente et de pression sont négligeables.
• Soufflerie : un jet d'air sort d'une buse de diamètre D = 55 mm, après une contraction de rapport 85 : 1, pour un nombre de Reynolds Re_D d'environ 10⁴ à 10⁵.
• Mesures : j'ai placé un fil chaud unique de 1,2 µm de diamètre sur l'axe du jet. L'intensité turbulente y atteint 25 % : j'applique donc au signal une version corrigée de l'hypothèse de Taylor pour obtenir les petites échelles, donc ε, sans biais.

La théorie donne toutes les lois de décroissance

• Solutions autosimilaires : U ∼ (x − x_o)⁻¹, u'² ∼ (x − x_o)⁻², échelles de longueur ∼ (x − x_o), ε ∼ (x − x_o)⁻⁴, avec x_o une origine virtuelle.
• Sans hypothèse supplémentaire : la décroissance de U en x⁻¹ devient un résultat de l'analyse, et non une donnée d'entrée.
• Le Reynolds de Taylor Re_λ doit être constant, et la constance de C_ε découle de l'autosimilarité complète.

• La vitesse moyenne suit bien la loi en x⁻¹ : U_j/U est linéaire en x/D, avec une origine virtuelle x_o ≈ 4,5D.

Les mesures confirment l'autosimilarité complète

• Re_λ atteint un plateau dès Re_D ≥ 2 × 10⁴. À Re_D = 10⁴, il ne se stabilise pas : l'autosimilarité n'est pas atteinte.
• Le plateau commence plus loin quand le Reynolds augmente : vers x/D ≈ 15 à Re_D = 3,4 × 10⁴, vers x/D ≈ 40 à 1,3 × 10⁵. Il faut donc mesurer assez loin de la buse.

• La dissipation suit la loi en x⁻⁴ en champ lointain.
• Le préfacteur A_ε se calcule à partir de la décroissance de U et de l'intensité turbulente : environ 36, à 8 % près de la mesure, contre 48 pour la valeur souvent citée de Friehe et al. (1971).
• Les fonctions de structure d'ordre 2 et 3 relevées à différentes distances se superposent une fois normalisées : l'autosimilarité vaut à toutes les échelles.

À retenir

• Sur l'axe d'un jet rond, l'autosimilarité suffit à retrouver les lois de décroissance de U, de k et de ε, sans autre équation.
• Les mesures la confirment, à condition d'aller assez loin de la buse, et d'autant plus loin que le Reynolds est élevé.
• La formule du préfacteur donne une façon simple d'estimer ε sur l'axe, à partir de mesures de vitesse moyenne et d'intensité turbulente.

Pour aller plus loin

L. Djenidi, R. A. Antonia, N. Lefeuvre, J. Lemay, Complete self-preservation on the axis of a turbulent round jet, Journal of Fluid Mechanics 790, 57–70 (2016), PDF · DOI