Dissipation turbulente : quelle approximation choisir ?

En 2014, à l'University of Newcastle (Australie), j'ai publié cet article dans Physics of Fluids avec Fabien Thiesset, Lyazid Djenidi et Robert Antonia. Le sujet : le taux de dissipation de l'énergie cinétique turbulente ε, une grandeur clé de la turbulence, et la façon de l'estimer correctement à partir de mesures incomplètes.

Ma contribution : premier auteur, j'ai développé le code LBM, réalisé les simulations, puis assuré le post-traitement et l'analyse des données.

Pourquoi c'est difficile

• ε fait intervenir 12 dérivées de la vitesse. Une simulation les donne toutes, mais une mesure expérimentale n'en fournit que quelques-unes.
• Nous utilisons donc des approximations (des « substituts ») qui supposent certaines propriétés de l'écoulement :
• ε_iso, si la turbulence est localement isotrope (une seule dérivée suffit) ;
• ε_a,x et ε_a,y, si elle est localement axisymétrique selon x ou y ;
• ε_hom, si elle est localement homogène (à partir de l'enstrophie) ;
• ε_4x, si elle est homogène dans le plan transverse (10 des 12 termes, mesurables avec une sonde à 4 fils croisés).
• Notre question : lesquelles restent fiables, en moyenne mais aussi instant par instant ?

La méthode

• Simulation : j'ai utilisé la méthode de Boltzmann sur réseau (LBM), avec un modèle de Smagorinsky pour stabiliser le calcul près du cylindre.
• Écoulement : sillage d'un cylindre carré, nombre de Reynolds Re_D = 2000. J'ai choisi le cylindre carré parce qu'il donne un sillage plus isotrope qu'un cylindre circulaire et qu'il se modélise facilement.
• Résolution : de 3,5η près du cylindre à 1η à x/D = 100 (η : échelle de Kolmogorov), comparable aux simulations directes de référence.
• Validation : j'obtiens un nombre de Strouhal St = 0,129, proche de la mesure (0,13), et spectres en accord avec les mesures au fil chaud et une simulation directe de canal.

En moyenne : tout converge loin du cylindre

• Au-delà d'environ 40 diamètres, toutes les approximations donnent la bonne dissipation moyenne.
• Plus près (x = 20D), ε_iso et ε_a,y s'écartent nettement près de l'axe, à cause de l'anisotropie de l'écoulement. ε_a,x, ε_hom et ε_4x restent corrects.
• Fait notable, ε_iso fonctionne même quand l'isotropie n'est pas vérifiée : les écarts entre les différentes dérivées se compensent.

Les fluctuations : l'approximation isotrope se trompe

• L'écart-type de ε est du même ordre que sa moyenne : la dissipation fluctue fortement, comme l'avait souligné Landau.
• ε_4x reproduit bien ces fluctuations. ε_iso les surestime d'un facteur proche de 2.

Instant par instant : ε_4x se démarque

• Les densités de probabilité ont toutes une queue quasi exponentielle, mais diffèrent sur les valeurs les plus probables.
• Seule celle de ε_4x suit de près celle de ε.

• Coefficients de corrélation avec ε sur l'axe : 0,87 pour ε_4x, de 0,68 à 0,76 pour ε_iso, ε_a,x et ε_a,y, et 0,63 pour ε_hom.
• ε_hom corrèle moins bien que prévu : les fluctuations de pression jouent un rôle non négligeable dans le sillage.

À retenir

• Pour la dissipation moyenne, loin de l'obstacle, toutes les approximations conviennent.
• Pour les fluctuations et les valeurs instantanées, ε_4x est le meilleur substitut.
• C'est un résultat utile pour les expérimentateurs : ε_4x s'obtient avec une sonde à 4 fils croisés.

Pour aller plus loin

N. Lefeuvre, F. Thiesset, L. Djenidi, R. A. Antonia, Statistics of the turbulent kinetic energy dissipation rate and its surrogates in a square cylinder wake flow, Physics of Fluids 26, 095104 (2014), PDF · DOI