Le paramètre Cε est-il universel ? Ce que dit l'autosimilarité

En 2017, j'ai cosigné cet article du Journal of Fluid Mechanics avec Lyazid Djenidi, M. Kamruzzaman et Robert Antonia (University of Newcastle, Australie). Le sujet : le paramètre de dissipation normalisé C_ε = εL/u'³, et la question de savoir s'il est une constante universelle de la turbulence.

Ma contribution : l'automatisation du jet rond du laboratoire (LabVIEW, Matlab), les mesures au fil chaud sur son axe, puis le post-traitement et l'analyse des données.

Pourquoi c'est important

• La dissipation ε est presque impossible à mesurer directement sur le terrain (atmosphère, océan, procédés industriels) : il faut 12 dérivées de la vitesse.
• Si C_ε est constant, il suffit de mesurer l'intensité turbulente u' et l'échelle intégrale L, deux grandeurs simples à obtenir, pour en déduire ε.
• Cette constance est souvent tenue pour acquise, sur la base d'arguments dimensionnels. Pourtant, Taylor (1935) et Kolmogorov (1941) la supposaient dans un cadre précis : un écoulement autosimilaire, dont les statistiques gardent la même forme pendant la décroissance.

La méthode

• Théorie : nous partons des équations de Navier-Stokes, via le bilan d'énergie échelle par échelle, sans modèle de fermeture, et nous y imposons l'autosimilarité.
• Deux écoulements qui décroissent : la turbulence de grille, proche d'une turbulence homogène et isotrope mais non autosimilaire, et l'axe d'un jet rond en champ lointain, localement isotrope et autosimilaire.
• Mesures : trois grilles (deux plaques perforées, une grille tissée) en soufflerie et le jet rond, que j'ai mesuré à trois nombres de Reynolds, complétés par des données publiées (grilles fractales, jet plan, simulations directes).

Dans le jet, Cε reste constant ; derrière une grille, il décroît

• La théorie montre que, si la turbulence décroît en restant autosimilaire, C_ε reste constant pour une condition initiale donnée.
• Sur l'axe du jet, qui est autosimilaire, C_ε est en effet quasi constant après une phase d'établissement.
• Derrière les grilles, qui ne le sont pas, C_ε diminue avec la distance. C'est la constance de C_ε qui demande l'autosimilarité, pas l'inverse.

Quand le Reynolds augmente, Cε tend vers une limite

• Le rapport entre l'échelle intégrale et la micro-échelle de Taylor, L_u/λ, croît à peu près linéairement avec le nombre de Reynolds Re_λ, quel que soit l'écoulement.
• Avec la relation C_ε = 15 (L/λ)/Re_λ, nous en déduisons que C_ε diminue vers une valeur limite C_ε,∞.

• Mesures et théorie concordent pour chaque écoulement.
• À grand Reynolds, les valeurs des écoulements en décroissance rejoignent celles de la turbulence forcée, autour de 0,5.
• La limite semble encore dépendre de l'écoulement, mais l'hypothèse d'une constante universelle ne peut pas être exclue.

À retenir

• La constance de C_ε pendant la décroissance découle de l'autosimilarité : elle se vérifie dans le jet rond, pas derrière une grille.
• C_ε diminue quand le nombre de Reynolds augmente, vers une valeur proche de 0,5, peut-être universelle.
• Pour estimer ε à partir de u' et L, je retiens donc qu'il faut vérifier que l'écoulement est autosimilaire et que son nombre de Reynolds est élevé.

Pour aller plus loin

L. Djenidi, N. Lefeuvre, M. Kamruzzaman, R. A. Antonia, On the normalized dissipation parameter C_ε in decaying turbulence, Journal of Fluid Mechanics 817, 61–79 (2017), PDF · DOI