Sillage lointain d'un cylindre carré : un bilan à deux termes

En 2015, j'ai cosigné cet article avec S. L. Tang, Lyazid Djenidi, Robert Antonia (University of Newcastle, Australie) et Yu Zhou (Harbin Institute of Technology, Shenzhen, Chine), pour la conférence FSSIC (Fluid-Structure-Sound Interactions and Control) de Perth. Le sujet : mesurer, terme par terme, le bilan d'énergie cinétique turbulente dans le sillage lointain d'un cylindre carré, et le comparer à celui du cylindre circulaire.

Ma contribution : mes simulations LBM du sillage intermédiaire, où l'advection équilibrait déjà la dissipation et qui ont motivé l'étude, puis la comparaison avec le sillage du cylindre circulaire et l'analyse des données.

Pourquoi ce bilan

• Dans un sillage plan, l'énergie turbulente q² évolue sous l'effet de quatre termes : l'advection par l'écoulement moyen, la production par le cisaillement, la diffusion (turbulente et par la pression) et la dissipation ε.
• Derrière un cylindre circulaire, sur l'axe, trois termes comptent : advection, dissipation et diffusion, cette dernière étant du même ordre que l'advection.
• Derrière un cylindre carré, personne n'avait encore mesuré ce bilan en champ lointain. Mes simulations du sillage intermédiaire, jusqu'à x/d = 100, montraient que l'advection y équilibre la dissipation.
• Notre question : ce bilan à deux termes tient-il en champ lointain, et l'approximation isotrope ε_iso y suffit-elle pour estimer la dissipation ?

La méthode

• Soufflerie : une soufflerie à retour libre et à faible turbulence, avec une veine de 2,2 m de long et de 0,35 m × 0,35 m de section.
• Écoulement : un cylindre carré de côté d = 6,3 mm, une vitesse amont de 9,5 m/s, soit un nombre de Reynolds de 4 000. Les mesures sont faites à x/d = 230 et 270.
• Mesures : une sonde à fils croisés (fils Wollaston de 2,5 µm), des anémomètres à température constante, un filtrage proche de la fréquence de Kolmogorov, une acquisition 12 bits à 20 kHz pendant environ 100 s.
• Bilan : la dissipation est estimée par sa forme isotrope ε_iso = 15ν(∂u/∂x)², et la diffusion par la pression s'obtient par différence.

Le sillage lointain est autosimilaire

• Les profils se superposent une fois normalisés par le déficit de vitesse maximal et la demi-largeur du sillage, et rejoignent ceux de Zhou et Antonia pour le même obstacle.
• Un léger écart sur la contrainte de cisaillement, entre y* = 1 et 1,5, s'explique sans doute par des conditions initiales différentes.
• L'autosimilarité est un point de départ précieux : elle ouvre la voie à une analyse théorique du sillage lointain.

Sur l'axe, l'advection compense la dissipation

• Près de l'axe (y* < 0,3), le gain d'énergie apporté par l'advection est à peu près égal à la perte par dissipation.
• La diffusion de q² est négligeable : environ 1/7 de l'advection sur l'axe, contre un rapport proche de 1 derrière un cylindre circulaire. Le mécanisme de transport de l'énergie diffère donc d'un obstacle à l'autre.

Loin de l'axe, la diffusion prend le relais

• En s'éloignant de l'axe, la diffusion et la production augmentent vite et pèsent nettement dans le bilan.
• En bord de sillage (y* de 1,6 à 2,5), production et dissipation deviennent négligeables : la diffusion et l'advection s'y équilibrent.
• La diffusion par la pression reste faible, et les deux diffusions respectent leur contrainte intégrale. ε_iso est donc un bon substitut de la dissipation, comme dans le sillage intermédiaire.

À retenir

• Dans le sillage lointain d'un cylindre carré, le bilan d'énergie se réduit sur l'axe à deux termes : l'advection et la dissipation.
• C'est une vraie différence avec le cylindre circulaire, où la diffusion compte autant que l'advection.
• L'approximation isotrope ε_iso, accessible avec un seul fil chaud, suffit pour estimer la dissipation moyenne dans ce sillage.

Pour aller plus loin

S. L. Tang, N. Lefeuvre, L. Djenidi, R. A. Antonia, Y. Zhou, Turbulent kinetic energy budget in the far field of a square cylinder wake, 3rd Symposium on Fluid-Structure-Sound Interactions and Control (FSSIC3), Perth (2015), PDF